ፍቺ 1

የሁሉም ፀረ-ተውሳኮች ስብስብ የተሰጠው ተግባርበአንድ የተወሰነ ክፍል ላይ የተገለጸው $y=f(x)$ የአንድ የተወሰነ ተግባር $y=f(x)$ ያልተወሰነ አካል ይባላል። ያልተወሰነ ውህደትበ$\int f(x)dx $ ምልክት ተለይቷል።

አስተያየት

ፍቺ 2 እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

ከሁሉም ሰው አይደለም ምክንያታዊ ያልሆነ ተግባርዋናው ነገር በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ሊገለጽ ይችላል. ነገር ግን፣ አብዛኛዎቹ እነዚህ ውህዶች በመተካት ወደ ምክንያታዊ ተግባራት ውህደቶች በመጠቀም ሊቀነሱ ይችላሉ፣ እነዚህም በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ሊገለጹ ይችላሉ።

$\int R\ግራ(x,x^(m/n)፣...፣x^(r/s) \ቀኝ) dx $;

$\int R\ግራ(x,\ግራ(\frac(ax+b)(cx+d) \ቀኝ)^(m/n)፣...፣\ግራ(\frac(ax+b)(cx) +d) \ቀኝ)^(r/s) \ቀኝ) dx $;

$\int R\ግራ(x,\sqrt(ax^(2)+bx+c) \ቀኝ) dx $.

አይ

የ$\int R\ግራ(x,x^(m/n)፣...፣x^(r/s) \right)dx $ ቅፅን ሲፈልጉ የሚከተለውን መተካት ያስፈልጋል።

በዚህ ምትክ፣ እያንዳንዱ የተለዋዋጭ $x$ ክፍልፋይ ኃይል በተለዋዋጭ $t$ ኢንቲጀር ኃይል ይገለጻል። በውጤቱም, የመዋሃድ ተግባሩ ወደ ተለውጧል ምክንያታዊ ተግባርከተለዋዋጭ $t$.

ምሳሌ 1

ውህደትን ያከናውኑ፡

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1)።\]

መፍትሄ፡-

$k=4$ የክፍልፋዮች የጋራ መለያ ነው $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\\[\ጀማሪ(ድርድር)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5))(t^(3) +1) dt =4\int \ግራ(t^() 2) -\frac(t^(2))(t^(3) +1) \ቀኝ) dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2))(t) ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\መጨረሻ(ድርድር)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \ግራ+C\]

II

የ$\int R\ግራ(x,\ግራ(\frac(ax+b)(cx+d)\ቀኝ)^(m/n)፣...፣\ግራ(\frac)ቅፅን ሲፈልጉ (ax+ b)(cx+d) \ቀኝ)^(r/s) \ቀኝ) dx $ የሚከተለውን መተኪያ ማከናወን አስፈላጊ ነው።

የት $k$ የክፍልፋዮች የጋራ መለያ ነው $\frac(m)(n)፣...፣\frac(r)(ዎች) $።

በዚህ መተካት ምክንያት፣ ውህደቱ ወደ ተለዋዋጭ $t$ ምክንያታዊ ተግባር ይቀየራል።

ምሳሌ 2

ውህደትን ያከናውኑ፡

\[\int \frac(\sqrt(x+4))(x) dx።\]

መፍትሄ፡-

የሚከተለውን ምትክ እናድርግ፡-

\ [\int \frac(\sqrt(x+4))(x) dx =\int \frac(t^(2))(t^(2) -4) dt =2\int \ግራኝ(1) +\frac(4)(t^(2) -4) \ቀኝ) dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \ግራ |\frac(t-2)(t+2) \ቀኝ|+C\]

የተገላቢጦሹን ምትክ ካደረግን በኋላ የመጨረሻውን ውጤት እናገኛለን:

\[\int \frac(\sqrt(x+4))(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \ግራ|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \ቀኝ|+C.\]

III

የ$\int R\ግራ(x፣\sqrt(ax^(2)+bx+c) \ቀኝ)dx$ ቅፅን ሲፈልጉ፣ የኡለር ምትክ ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል (ከሦስቱ ምትክ ሊሆኑ ከሚችሉት ውስጥ አንዱ ነው። ጥቅም ላይ የዋለ).

የኡለር የመጀመሪያ ምትክ

ለጉዳዩ $a>

ከ$\sqrt(a)$ ፊት ለፊት ያለውን የ"+" ምልክት ወስደን እናገኛለን

ምሳሌ 3

ውህደትን ያከናውኑ፡

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c))።\]

መፍትሄ፡-

የሚከተለውን ምትክ እንሥራ (ጉዳይ $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2)) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t)።\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2)) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

የተገላቢጦሹን ምትክ ካደረግን በኋላ የመጨረሻውን ውጤት እናገኛለን:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

የኡለር ሁለተኛ ምትክ

ለጉዳዩ $c>0$ የሚከተለውን ምትክ ማከናወን አስፈላጊ ነው.

ከ$\sqrt(c)$ ፊት ለፊት ያለውን የ"+" ምልክት ወስደን እናገኛለን

ምሳሌ 4

ውህደትን ያከናውኑ፡

\[\int \frac ((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)))) dx \]

መፍትሄ፡-

የሚከተለውን ምትክ እናድርግ፡-

\[\sqrt(1+x+x^(2)) =xt+1።\]

\[\sqrt(1+x+x^(2)) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2)) \]

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)))) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2)) (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2)) dt =\ int \frac(t^(2))(1-t^(2)) dt =-2t+\ln \ግራ|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ ተቃራኒውን ካደረገ በኋላ በመተካት የመጨረሻውን ውጤት እናገኛለን

\[\ጀማሪ (ድርድር) (l) (\int \frac ((1-\sqrt(1+x+x^(2))))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2)) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2)) -1)(x) +\ln \ግራ|\frac(x+\sqrt(1 +) x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2)) +1) \ቀኝ|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x +) x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \ግራ|2x+2\sqrt(1+x+x^(2)) +1\ቀኝ|+C) \መጨረሻ( ድርድር)\]

የኡለር ሦስተኛው ምትክ

ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ክፍል በጣም ሰፊ ነው, ስለዚህ በቀላሉ እነሱን ለማዋሃድ ሁለንተናዊ መንገድ ሊኖር አይችልም. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በጣም ለማጉላት እንሞክራለን ባህሪይ ዝርያዎችምክንያታዊ ያልሆነ ውህደት ተግባራት እና የመዋሃድ ዘዴን ከነሱ ጋር ያዛምዱ.

ለልዩ ምልክት የመመዝገቢያ ዘዴን መጠቀም ተገቢ በሚሆንበት ጊዜ ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ, የቅጹን ያልተወሰነ ውህዶችን ሲያገኙ, የት ገጽ- ምክንያታዊ ክፍልፋይ.

ለምሳሌ።

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ .

መፍትሄ።

ያንን ለማስተዋል አስቸጋሪ አይደለም. ስለዚህ ፣ በልዩ ምልክት ስር እናስቀምጠዋለን እና የፀረ-ተውሳኮችን ሰንጠረዥ እንጠቀማለን-

መልስ፡-

.

13. ክፍልፋይ መስመራዊ መተካት

የዓይነት ውህደት ሀ፣ b፣ c፣ d እውነተኛ ቁጥሮች፣ a፣ b፣...፣ d፣ g የተፈጥሮ ቁጥሮች ሲሆኑ ወደ ምክንያታዊ ተግባር በመተካት ወደ ውህደቶች ይቀንሳሉ፣ K በጣም ትንሽ የተለመደ ብዜት ነው። የክፍልፋዮች መለያዎች

በእርግጥ, ከመተካቱ የሚከተለው ነው

ማለትም x እና dx የሚገለጹት በምክንያታዊ የቲ. ከዚህም በላይ, ክፍልፋይ እያንዳንዱ ዲግሪ t ምክንያታዊ ተግባር በኩል ይገለጻል.

ምሳሌ 33.4. ዋናውን ያግኙ

መፍትሔው፡ 2/3 እና 1/2 ክፍልፋዮች መካከል ያለው አነስተኛ የጋራ ብዜት 6 ነው።

ስለዚህ፣ x+2=t 6፣ x=t 6 -2፣dx=6t 5 dt፣ስለዚህ

ምሳሌ 33.5.ውህዶችን ለማግኘት ምትክን ይግለጹ፡

መፍትሄ፡ ለ I 1 ምትክ x=t 2፣ ለ I 2 ምትክ

14. ትሪግኖሜትሪክ መተካት

የዓይነት ውህደቶች የሚከተሉትን ትሪግኖሜትሪክ መተኪያዎችን በመጠቀም በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ላይ በምክንያታዊነት ወደሚመሰረቱ የተግባር ውህደቶች ይቀንሳሉ፡ x = a sint for the first integral; x=a tgt ለሁለተኛው ውህደት;

ምሳሌ 33.6.ዋናውን ያግኙ

መፍትሄ፡- x=2 sin t፣dx=2 cos tdt፣t=arcsin x/2 እናስቀምጥ። ከዚያም

እዚህ ውህደቱ ከ x እና አንጻር ምክንያታዊ ተግባር ነው። በአክራሪው ስር አንድ ሙሉ ካሬ በመምረጥ እና በመተካት ፣የተጠቆመው ዓይነት ውህዶች ቀድሞውኑ ወደ ታሳቢው ዓይነት ውህደት ይቀነሳሉ ፣ ማለትም ፣ የአይነቱ ውህዶች። እነዚህ ውህዶች ተገቢውን የትሪግኖሜትሪክ ምትክ በመጠቀም ሊሰሉ ይችላሉ።

ምሳሌ 33.7.ዋናውን ያግኙ

መፍትሄ፡ ከ x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5፣ በመቀጠል x+1=t፣ x=t-1፣ dx=dt። ለዚህ ነው እናስቀምጠው

ማስታወሻ: የተዋሃደ ዓይነት ምትክ x=1/t በመጠቀም መፈለግ ጠቃሚ ነው።

15. የተወሰነ ውህደት

አንድ ተግባር በአንድ ክፍል ላይ ይገለጽ እና በላዩ ላይ ፀረ-ተውጣጣ ይኑረው. ልዩነቱ ይባላል የተወሰነ ውህደት በክፍሎች እና በማመልከት ላይ ያሉ ተግባራት. ስለዚህ፣

ልዩነቱ በቅጹ ላይ ተጽፏል, ከዚያም . ቁጥሮች ተጠርተዋል የመዋሃድ ገደቦች .

ለምሳሌ, ለአንድ ተግባር ፀረ-ተውሳኮች አንዱ. ለዚህ ነው

16 . c ቋሚ ቁጥር ከሆነ እና ተግባሩ ƒ(x) በ ላይ ሊዋሃድ የሚችል ከሆነ፣ እንግዲያውስ

ማለትም ቋሚው ፋክተር c ከተወሰነው ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል.

▼የተግባሩ አጠቃላይ ድምርን በ ƒ(x) እናዘጋጅ። አለን።

ከዚያ የሚከተለው ተግባር c ƒ (x) በ [a; ለ] እና ቀመር (38.1) ልክ ነው።▲

2. ተግባራቶቹ ƒ 1 (x) እና ƒ 2 (x) በ[a;b] ላይ የሚዋሃዱ ከሆኑ፣ ከዚያም በ[a; ለ] ድምር ዩ

ማለትም የድምሩ ውስጠ-ቁራጭ ከቅንብሮች ድምር ጋር እኩል ነው.

▼
▲

ንብረት 2 በማንኛውም የውሱን ቁጥር ድምር ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።

3.

ይህ ንብረት በፍቺ ሊቀበል ይችላል። ይህ ንብረት በኒውተን-ላይብኒዝ ቀመርም የተረጋገጠ ነው።

4. ተግባሩ ƒ(x) በ [a; ለ] እና ሀ< с < b, то

ያም ማለት በጠቅላላው ክፍል ላይ ያለው ውህደት በዚህ ክፍል ክፍሎች ላይ ካለው የንጥሎች ድምር ጋር እኩል ነው. ይህ ንብረት የአንድ የተወሰነ ውህደት (ወይም የመደመር ንብረት) ተጨማሪ ይባላል።

ክፍሉን [a; b]ን ወደ ክፍሎች ስንከፋፍል, ነጥብ c በክፍል ነጥቦች ብዛት ውስጥ እናካትታለን (ይህ ሊደረግ የሚችለው ከጠቅላላው ድምር ገደብ ነፃ በሆነው ክፍል ውስጥ ካለው የመከፋፈል ዘዴ ነፃ በመሆኑ ነው. ወደ ክፍሎች)። c = x m ከሆነ፣ አጠቃላይ ድምር በሁለት ድምር ሊከፈል ይችላል።

እያንዳንዳቸው የተፃፉ ድምሮች ለክፍሎች [a; ለ]፣ [ሀ; s] እና [s; ለ]። በመጨረሻው እኩልነት እንደ n → ∞ (λ → 0) በማለፍ እኩልነትን እናገኛለን (38.3)።

ንብረት 4 ለማንኛውም የነጥብ a, b, c (ተግባሩ ƒ (x) በውጤቱ ክፍሎች ላይ ሊጣመር የሚችል ነው ብለን እናስባለን)።

ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ ሀ< b < с, то

(ንብረቶች 4 እና 3 ጥቅም ላይ ውለዋል).

5. "በአማካኝ እሴቶች ላይ ያለው ቲዎሪ" ተግባሩ ƒ (x) በጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይ ከሆነ [a; b], ከዚያም є [a; ለ] እንደዚያ

▼በኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር አለን።

የት F"(x) = ƒ(x)። የላግራንጅ ቲዎረም (የአንድ ተግባር ውሱን ጭማሪ ላይ ያለውን ቲዎሬም) ወደ F(b)-F(a) ልዩነት በመተግበር እናገኛለን።

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a)።▲

ንብረት 5 (“አማካይ እሴት ቲዎረም”) ለ ƒ (x) ≥ 0 ቀላል ጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው፡ የተወሰነው ውህደት ዋጋ ለአንዳንዶቹ c є (a; b) ከአራት ማዕዘኑ ስፋት ጋር እኩል ነው። ቁመት ƒ (c) እና ቤዝ b-a (ምስል 170 ይመልከቱ)። ቁጥር

በክፍተቱ [a; ለ]።

6. ተግባሩ ƒ (x) ምልክቱን በክፍሉ ላይ ካስቀመጠ [a; ለ]፣ የት ሀ< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼በ"አማካይ እሴት ቲዎሪ" (ንብረት 5)

የት c є [a; ለ]። እና ከ ƒ (x) ≥ 0 ለሁሉም x О [a; ለ] ፣ ከዚያ

ƒ(ሰ)≥0፣ b-а>0።

ስለዚህ ƒ(с) (b-а) ≥ 0፣ ማለትም ▲

7. በመካከላቸው ያለማቋረጥ ተግባራት መካከል አለመመጣጠን [ሀ; ለ] ፣ (ሀ

▼ከƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0 ጀምሮ፣ ከዚያም ሀ< b, согласно свойству 6, имеем

ወይም በንብረት 2 መሠረት፣

አለመመጣጠን መለየት የማይቻል መሆኑን ልብ ይበሉ.

8. የተዋሃዱ ግምት. m እና M እንደቅደም ተከተላቸው የተግባር y = ƒ (x) በክፍል ላይ ትንሹ እና ትልቁ እሴቶች ከሆኑ [a; ለ] ፣ (ሀ< b), то

▼ለማንኛውም x є [a;b] m≤ƒ(x)≤M ስላለን በንብረት 7 መሠረት አለን።

ንብረት 5 ን ወደ ጽንፍ አካላት በመተግበር እናገኛለን

▲

ƒ(x)≥0 ከሆነ፣ ንብረቱ 8 በጂኦሜትሪ ይገለጻል፡ የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት በአራት ማዕዘኖች መካከል የተከለለ ሲሆን ቁመታቸውም ሜትር እና ኤም (ምስል 171 ይመልከቱ)።

9. የአንድ የተወሰነ ውህደት ሞጁል ከውህደቱ ሞጁል አይበልጥም።

▼ንብረት 7 ን በግልፅ አለመመጣጠን ላይ ማመልከት -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|፣ እናገኛለን።

ያንን ተከትሎ ነው።

▲

10. ከተለዋዋጭ የላይኛው ወሰን አንፃር የተወሰነ ውህደት ያለው ውህደት በዚህ ገደብ ከተተካበት ውህደት ጋር እኩል ነው, ማለትም.

የአንድን ምስል ስፋት ማስላት በአካባቢ ንድፈ ሃሳብ ውስጥ በጣም አስቸጋሪ ከሆኑ ችግሮች አንዱ ነው. በትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ, መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ቅርጾችን, ለምሳሌ ክብ, ትሪያንግል, ሮምብስ, ወዘተ ያሉትን ቦታዎች ለማግኘት ተምረናል. ይሁን እንጂ ብዙ ጊዜ ይበልጥ ውስብስብ የሆኑ አሃዞችን ቦታዎችን በማስላት ላይ መነጋገር አለብህ. እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በሚፈታበት ጊዜ አንድ ሰው ወደ ውህደት ስሌት መሄድ አለበት.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢን ለማስላት ያለውን ችግር እንመለከታለን, እና በጂኦሜትሪክ ስሜት እንቀርባለን. ይህ በተወሰነው ውህደት እና በከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢ መካከል ያለውን ቀጥተኛ ግንኙነት ለማወቅ ያስችለናል።

ቀደም ሲል, የተሰጠው ተግባር, በተለያዩ ቀመሮች እና ደንቦች በመመራት, የእሱን አመጣጥ አግኝተናል. ተዋጽኦው ብዙ አጠቃቀሞች አሉት፡ የእንቅስቃሴው ፍጥነት (ወይም በአጠቃላይ የማንኛውም ሂደት ፍጥነት) ነው። የታንጀንት አንጉላር ኮፊሸን ወደ ተግባሩ ግራፍ; ተዋጽኦውን በመጠቀም ለ monotonicity እና ለጽንፈኝነት ተግባር መመርመር ይችላሉ; የማመቻቸት ችግሮችን ለመፍታት ይረዳል.

ነገር ግን በሚታወቀው የእንቅስቃሴ ህግ መሰረት ፍጥነትን ከማግኘት ችግር ጋር, የተገላቢጦሽ ችግርም አለ - በሚታወቀው ፍጥነት የእንቅስቃሴ ህግን ወደነበረበት የመመለስ ችግር. ከእነዚህ ችግሮች መካከል አንዱን እንመልከት።

ምሳሌ 1.የቁሳቁስ ነጥብ በቀጥታ መስመር ይንቀሳቀሳል፣ ፍጥነቱ በጊዜ t በቀመር v=gt ይሰጣል። የእንቅስቃሴ ህግን ያግኙ.
መፍትሄ። s = s (t) የሚፈለገው የእንቅስቃሴ ህግ ይሁን። s"(t) = v(t) እንደሆነ ይታወቃል።ይህ ማለት ችግሩን ለመፍታት ተግባርን s = s(t) መምረጥ ያስፈልግሃል፣ የርሱ ውፅዓት ከ gt ጋር እኩል ነው። ለመገመት አስቸጋሪ አይደለም። ያ \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\)።
\(s"(t) = \ግራ(\frac(gt^2)(2)\ቀኝ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2)) cdot 2t = gt\)
መልስ፡- \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

ምሳሌው በትክክል እንደተፈታ, ግን ያልተሟላ መሆኑን ወዲያውኑ እናስተውል. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) አግኝተናል። እንደ እውነቱ ከሆነ ችግሩ እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎች አሉት፡ ማንኛውም የቅጹ ተግባር \(s(t) = \frac(gt^2)(2)+C\)) ሐ የዘፈቀደ ቋሚ የሆነበት፣ እንደ ህግ ሆኖ ሊያገለግል ይችላል። እንቅስቃሴ፣ ከ \(\ በግራ (\frac(gt^2)(2) +C \ቀኝ)" = gt \)

ችግሩን የበለጠ ግልጽ ለማድረግ, የመነሻውን ሁኔታ ማስተካከል ያስፈልገናል: በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የመንቀሳቀስ ቦታን መጋጠሚያ ያመልክቱ, ለምሳሌ በ t = 0 ላይ. ከማለት, s(0) = s 0, ከዚያም ከ. እኩልነት s(t) = (gt 2)/2 + C እናገኛለን፡ s(0) = 0 + C፣ ማለትም C = s 0። አሁን የእንቅስቃሴ ህግ በልዩ ሁኔታ ይገለጻል፡ s(t) = (gt 2)/2 + s 0።

በሂሳብ ውስጥ, እርስ በርስ የተገላቢጦሽ ስራዎች የተለያዩ ስሞች ተሰጥተዋል, ልዩ ማስታወሻዎች ተፈጥረዋል, ለምሳሌ: ስኩዌር (x 2) እና ካሬ ሥር (\ (\sqrt (x) \)), ሳይን (ሲን x) እና አርክሲን (arcsin x) እና ወዘተ. የተሰጠውን ተግባር አመጣጥ የማግኘት ሂደት ይባላል ልዩነት, እና የተገላቢጦሽ ክዋኔ, ማለትም ከተሰጠው ተውሳክ ተግባርን የማግኘት ሂደት ነው ውህደት.

“ተወላጅ” የሚለው ቃል ራሱ “በየቀኑ” ሊጸድቅ ይችላል፡ ተግባር y = f(x) “ይወልዳል” አዲስ ተግባር y = f”(x)። ተግባር y = f(x) እንደ “ወላጅ” ሆኖ ይሰራል፣ ነገር ግን የሒሳብ ሊቃውንት፣ በተፈጥሯቸው “ወላጅ” ወይም “አምራች” ብለው አይጠሩትም፤ ከተግባሩ ጋር በተያያዘ y” = f”( x)፣ ዋና ምስል ወይም ጥንታዊ።

ፍቺ y = F(x) እኩልነት F"(x) = f(x) ለ \(x \በ X\) የሚይዝ ከሆነ በ interval X ላይ ለሚሰራው ተግባር y = f(x) ፀረ-ድርሻ ይባላል።

በተግባር ፣ የጊዜ ክፍተት X ብዙውን ጊዜ አልተገለጸም ፣ ግን በተዘዋዋሪ ነው (እንደ ተግባሩ ፍቺ ተፈጥሮአዊ ጎራ)።

ምሳሌዎችን እንስጥ።
1) ተግባሩ y = x 2 ለተግባሩ y = 2x ፀረ ተዋጽኦ ነው ፣ ምክንያቱም ለማንኛውም x እኩልነት (x 2)" = 2x እውነት ነው
2) ተግባሩ y = x 3 ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = 3x 2 ፣ ለማንኛውም x እኩልነት (x 3)" = 3x 2 እውነት ነው ።
3) ተግባሩ y = sin(x) ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = cos(x) ለማንኛውም x እኩልነት (ኃጢአት(x))" = cos(x) እውነት ነውና።

ፀረ-ተውሳኮችን, እንዲሁም ተዋጽኦዎችን ሲያገኙ, ቀመሮች ብቻ ሳይሆን አንዳንድ ደንቦችም ጥቅም ላይ ይውላሉ. ተዋጽኦዎችን ለማስላት ከተዛማጅ ደንቦች ጋር በቀጥታ የተያያዙ ናቸው.

የአንድ ድምር ተዋጽኦ ከተዋጮቹ ድምር ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.

ደንብ 1.የአንድ ድምር ፀረ-ተውጣጣይ ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው።

ቋሚው ምክንያት ከመነጩ ምልክት ሊወጣ እንደሚችል እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.

ደንብ 2. F(x) ለf(x) ፀረ-ድርሻ ከሆነ፣ kF(x) ለ kf(x) ፀረ-ድርሻ ነው።

ቲዎሪ 1. y = F (x) ለተግባሩ y = f (x) ፀረ-ተህዋስያን ከሆነ የተግባር y = f(kx + m) ፀረ-ተግባር \(y=\frac(1)(k)F ተግባር ነው። (kx+m) \)

ቲዎሪ 2. y = F(x) ለ ተግባር y = f(x) በጊዜ ክፍተት X ላይ ፀረ ተውሳክ ከሆነ፣ y = f(x) ተግባር እጅግ ብዙ ፀረ ተውሳኮች አሉት፣ እና ሁሉም y = F(x) ቅጽ አላቸው። + ሲ.

የመዋሃድ ዘዴዎች

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ (የመተካት ዘዴ)

በመተካት የመዋሃድ ዘዴ አዲስ የውህደት ተለዋዋጭ (ማለትም ምትክ) ማስተዋወቅን ያካትታል. በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው ውህድ ወደ አዲስ ውህደት ይቀንሳል, እሱም በሠንጠረዥ ወይም በእሱ ላይ ሊቀንስ ይችላል. ተተኪዎችን ለመምረጥ አጠቃላይ ዘዴዎች የሉም. መተካት በትክክል የመወሰን ችሎታ የሚገኘው በተግባር ነው።
ዋናውን \(\textstyle \int F(x)dx \) ማስላት አስፈላጊ ይሁን። \(\varphi(t) \) ቀጣይነት ያለው አመጣጥ ያለው ተግባር የሆነበትን ምትክ \(x= \varphi(t) \) እናድርገው።
ከዚያ \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) እና የውህደት ፎርሙላ ላልተወሰነ ውህደት ንብረት ላይ በመመስረት የውህደት ቀመሩን በመተካት እናገኛለን።
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi" (t) dt \)

የቅጹ አገላለጾች ውህደት (\textstyle \int \ sin^n x \cos^m x dx \)

m ጎዶሎ ከሆነ፣ m > 0፣ እንግዲያውስ ተተኪውን ኃጢአት x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n ጎዶሎ ከሆነ፣ n> 0፣ ተተኪውን cos x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n እና m እኩል ከሆኑ, ምትክ tg x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው.

በክፍሎች ውህደት

በክፍሎች ውህደት - የሚከተለውን ለመዋሃድ ቀመር መተግበር:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ወይም፡-
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

የአንዳንድ ተግባራት ላልተወሰነ ውህዶች (አንቲዲሪቫቲቭ) ሰንጠረዥ

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$$$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$$$ \int \frac(dx)(\ sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$$$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +ሲ $$

ይህ ክፍል ምክንያታዊ ተግባራትን የማዋሃድ ዘዴን ያብራራል. 7.1. ስለ ምክንያታዊ ተግባራት አጭር መረጃ በጣም ቀላሉ ምክንያታዊ ተግባር የአስራት ዲግሪ ብዙ ቁጥር ነው, ማለትም. እውነተኛ ቋሚዎች ያሉበት የቅጹ ተግባር፣ እና a0 Φ 0. ብዙ ቁጥር ያለው Qn(x) ውህደቱ a0 = 1 የተቀነሰ ይባላል። እውነተኛ ቁጥር ለ የብዙ ቁጥር Qn(z) ሥር ይባላል Q“(b) = 0. እያንዳንዱ ብዙ ቁጥር ያለው Qn(x) ከእውነተኛ ቅንጅቶች ጋር በልዩ ሁኔታ ወደ እውነተኛ የቅርጽ ሁኔታዎች የተበላሸ መሆኑ ይታወቃል ፣ p ፣q ትክክለኛ ውህደቶች ናቸው፣ እና ኳድራቲክ ምክንያቶች ምንም እውነተኛ ሥሮች የላቸውም እና ስለሆነም ወደ እውነተኛ መስመራዊ ሁኔታዎች ሊበሰብሱ አይችሉም። ተመሳሳይ ሁኔታዎችን በማጣመር (ካለ) እና ለቀላልነት ፣ ፖሊኖሚል Qn(x) ቀንሷል ብለን በማሰብ ፣የተፈጥሮ ቁጥሮች ባሉበት ፎርም መፃፍ እንችላለን። የፖሊኖሚል Qn(x) ዲግሪ ከ n ጋር እኩል ስለሆነ፣ የሁሉም አርቢዎች ድምር ሀ፣/3፣...፣ ሀ፣ በሁሉም አርቢዎች ድርብ ድምር ላይ የተጨመረው ω፣...፣ q፣ እኩል ነው። እስከ n፡ የብዙ ቁጥር ሥር ሀ ቀላል ወይም ነጠላ ይባላል፣ a = 1 ከሆነ፣ እና ብዙ ከሆነ > 1; ቁጥር ሀ የሥሩ ብዜት ይባላል ሀ. በሌሎች የፖሊኖሚል ሥሮች ላይም ተመሳሳይ ነው. ምክንያታዊ ተግባር f(x) ወይም ምክንያታዊ ክፍልፋይ የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ነው፣ ​​እና ፖሊኖሚሎች Pm(x) እና Qn(x) የተለመዱ ምክንያቶች እንደሌላቸው ይታሰባል። ምክንያታዊ ክፍልፋይ በቁጥር ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል መጠን በዲግሪው ውስጥ ካለው ፖሊኖሚል ያነሰ ከሆነ ፣ ማለትም ፣ ማለትም ፣ በትክክል ይባላል። m n ከሆነ, ከዚያም ምክንያታዊ ክፍልፋይ ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ ይባላል, እና በዚህ ሁኔታ ውስጥ, ፖሊኖሚሎች ለመከፋፈል ደንብ መሠረት ቁጥር መለያ ወደ መለያዎ በመከፋፈል, አንዳንድ ፖሊኖሚሎች ባሉበት መልክ ሊወከል ይችላል, እና ^^ ትክክለኛ ነው. ምክንያታዊ ክፍልፋይ. ምሳሌ 1. ምክንያታዊ ክፍልፋይ ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ ነው. “በማዕዘን” መከፋፈል፣ ስለዚህ አለን። እዚህ. እና ትክክለኛ ክፍልፋይ ነው። እነዚህን ቋሚዎች ለማግኘት የቀኝ እጅ የእኩልነት ክፍል (I) ወደ አንድ የጋራ መለያ (መለዋወጫ) ቀርቧል፣ ከዚያም በተመሳሳይ የ x ሃይሎች በግራ እና በቀኝ በኩል ባሉት ቁጥሮች ውስጥ ያሉት ውህዶች እኩል ናቸው። ይህ አስፈላጊዎቹ ቋሚዎች የሚገኙበት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል። . ይህ የማይታወቁ ቋሚዎችን የማግኘት ዘዴ ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴ ይባላል. አንዳንድ ጊዜ የማይታወቁ ቋሚዎችን የማግኘት ዘዴን መጠቀም የበለጠ አመቺ ሲሆን ይህም ቁጥሮችን ካመሳሰሉ በኋላ ከ x ጋር በተያያዘ ማንነት የተገኘ ሲሆን ይህም ክርክር x አንዳንድ እሴቶችን ይሰጣል ለምሳሌ እሴቶቹ . የስር ሥሮቹን ፣ ይህም ቋሚዎችን ለማግኘት እኩልታዎችን ያስከትላል። መለያው Q“(x) እውነተኛ ቀላል ሥሮች ብቻ ካለው በተለይ ምቹ ነው። ምሳሌ 2. ምክንያታዊ ክፍልፋዩን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መበስበስ ተገቢ ነው። አካፋዩን ወደ ብዜት እንከፋፍለዋለን፡ የመከፋፈያው ሥሮች እውነተኛ እና የተለያዩ ስለሆኑ፣ በቀመር (1) ላይ በመመስረት፣ ክፍልፋዩ ወደ ቀላሉ መበስበስ ቅጹ ይኖረዋል፡ የዚያን እኩልነት ትክክለኛ ክብር መቀነስ። የጋራ መለያየት እና በግራ እና በቀኝ በኩል ያሉትን ቁጥሮች በማመሳሰል ማንነቱን እናገኛለን ወይም ያልታወቁ ቁጥሮች A. 2?, C በሁለት መንገዶች እናገኛለን. የመጀመሪያው መንገድ ለተመሳሳዩ የ x, t.v. ንጣፎችን ማመሳሰል. ከ (ነጻ ቃል) እና የማንነት ግራ እና ቀኝ ጎን ያልታወቁትን አሃዞች A, B, C ለማግኘት እኩልታዎች መስመራዊ ስርዓት እናገኛለን: ይህ ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው C ሁለተኛው ዘዴ. የመከፋፈያው ሥሮች በ i 0 ላይ ስለሚቀደዱ, 2 = 2A እናገኛለን, ከየት A * 1; g i 1, -1 * -B እናገኛለን, ከየትኛው 5 * 1; x i 2፣ 2 = 2C እናገኛለን። ከየት ነው C» 1, እና የሚፈለገው ማስፋፊያ ቅጹ አለው 3. Rehlozhnt በጣም ቀላል አይደለም ክፍልፋዮች ምክንያታዊ ክፍልፋይ 4 እኛ በተቃራኒ አቅጣጫ ያለውን ፖሊኖሚል ወደ ምክንያቶች መበስበስ:. መለያው ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች አሉት: x \ = 0 የብዝሃነት ብዛት 3. ስለዚህ, የዚህ ክፍልፋይ መበስበስ በጣም ቀላል አይደለም: ትክክለኛውን ጎን ወደ አንድ የጋራ መለያ በመቀነስ, እናገኛለን ወይም የመጀመሪያውን ዘዴ. በመጨረሻው ማንነት በግራ እና በቀኝ በኩል ለተመሳሳይ የ x ኃይላት ውህደቶችን ማመሳሰል። ይህ ሥርዓት ልዩ የሆነ መፍትሔ ያለው ሲሆን አስፈላጊው መስፋፋት ሁለተኛው ዘዴ ይሆናል. በተፈጠረው ማንነት ውስጥ x = 0 ን በማስቀመጥ 1 a A2 ወይም A2 = 1 እናገኛለን። መስክ * ግብረ ሰዶማዊ x = -1፣ -3 i B እናገኛለን) ወይም Bj i -3። የተገኙትን የቁጥር መለኪያዎች A \ እና B) ሲተካ እና ማንነቱ ቅጹን ይወስዳል ወይም በማስቀመጥ x = 0 ፣ እና ከዚያ x = -I። = 0, B2 = 0 እና እናገኛለን. ይህ B\ = 0 ማለት ነው። ስለዚህ ፣ እንደገና ምሳሌ 4 እናገኛለን ። ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን 4 ወደ ቀላል ክፍልፋዮች አስፋፉ ፣ ምክንያቱም የክፍልፋይ መለያው ትክክለኛ ሥሮች የሉትም ፣ ምክንያቱም ተግባር x2 + 1 ለማንኛውም የ x እሴቶች አይጠፋም። ስለዚህ, ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መበስበስ ቅጹ ሊኖረው ይገባል ከዚህ እናገኛለን ወይም. በመጨረሻው እኩልነት በግራ እና በቀኝ በኩል የ x ሲናክስ ሃይሎች ንፅፅርን በማነፃፀር የምናገኝበት ቦታ ይኖረናል ፣ ስለሆነም ፣ በአንዳንድ ሁኔታዎች ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መስፋፋት በፍጥነት እና በቀላል እርምጃ ሊገኝ እንደሚችል ልብ ሊባል ይገባል ። በሌላ መንገድ, ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን ሳይጠቀሙ ለምሳሌ በምሳሌ 3 ላይ ያለውን ክፍልፋይ መበስበስ ለማግኘት በቁጥር 3x2 ላይ መጨመር እና መቀነስ እና ከታች እንደተመለከተው መከፋፈል ይችላሉ. 7.2. የቀላል ክፍልፋዮች ውህደት፣ ከላይ እንደተጠቀሰው፣ ማንኛውም ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ እንደ አንዳንድ ፖሊኖሚል እና ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ (§7) ድምር ሊወከል ይችላል፣ እና ይህ ውክልና ልዩ ነው። ፖሊኖሚል ማዋሃድ አስቸጋሪ አይደለም, ስለዚህ ትክክለኛውን ምክንያታዊ ክፍልፋይ የማዋሃድ ጥያቄን ያስቡ. ማንኛውም ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ እንደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሊወከል ስለሚችል, ውህደቱ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት ይቀንሳል. አሁን የእነሱን ውህደት ጥያቄ እንመልከት. III. የሦስተኛው ዓይነት ቀላሉ ክፍልፋይ ዋና አካልን ለማግኘት ፣ የሁለትዮሽውን ሙሉ ካሬ ከካሬው ትሪኖሚል እንለያለን-ሁለተኛው ቃል ከ a2 ጋር እኩል ስለሆነ ፣ የት እና ከዚያ ምትክ እናደርጋለን። በመቀጠልም የመዋሃድ መስመራዊ ባህሪያትን ከግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን፡- ምሳሌ 5. ዋናውን ፈልግ 4 የመቀላቀል ተግባር የሶስተኛው አይነት ቀላሉ ክፍልፋይ ነው፣ ካሬ ትሪኖሚል x1 + መጥረቢያ + 6 ትክክለኛ ሥሮች ስለሌለው (አድሎአዊ ነው)። አሉታዊ ነው: እና አሃዛዊው የመጀመሪያ ዲግሪ ብዙ ቁጥር ይይዛል, ስለዚህ, እንደሚከተለው እንቀጥላለን: 1) በተከፋፈለው ውስጥ ፍጹም የሆነ ካሬ ምረጥ 2) መተካት (እዚህ 3) በ * አንድ ተካቷል. የአራተኛው ዓይነት ቀለል ያለ ክፍል, ከላይ እንደተገለጸው, እናስቀምጣለን. በመቀጠልም ኢንቴግራሉን በቀኝ በኩል በ ሀ ምልክት እናገኛለን እና እንደሚከተለው እንለውጣለን-በቀኝ በኩል ያለው ውህደት ከየት ወይም ምክንያታዊ ተግባራትን በማዋሃድ በክፍሎች የተዋሃደ ነው ፣ ስለ ምክንያታዊ ተግባራት አጭር መረጃ የቀላል ክፍልፋዮች ውህደት አጠቃላይ ጉዳይ ምክንያታዊ ያልሆነ ውህደት። ተግባራት የኡለር የመጀመሪያ ምትክ ሁለተኛ የኡለር መተካት ሶስተኛው ምትክ Euler ተደጋጋሚ የሚባለውን ቀመር አግኝተናል ይህም ለማንኛውም k = 2, 3, ዋናውን Jk እንድናገኝ ያስችለናል. . . . በእርግጥም ውስጠ-ጁ ጄን በሰንጠረዥ ነው፡ የድግግሞሽ ቀመር ውስጥ በማስገባት፣ ማወቅ እና ማስቀመጥ A = 3 እናገኛለን፣ በቀላሉ Jj እና የመሳሰሉትን እናገኛለን። በመጨረሻው ውጤት፣ ከቲ ይልቅ በየቦታው በመተካት እና ሀ አገላለጾቻቸውን በ x እና coefficients p እና q፣ ለዋናው ውህደት በ x እና በተሰጡት ቁጥሮች M፣ LG፣p፣q እናገኛለን። ምሳሌ 8. አዲስ ውህደት “የማዋሃድ ተግባር የአራተኛው ዓይነት በጣም ቀላሉ ክፍልፋይ ነው ፣ ምክንያቱም የካሬ ትሪኖሚል አድልዎ አሉታዊ ነው ፣ ማለትም። ይህ ማለት መለያው ትክክለኛ ሥሮች የሉትም ፣ እና አሃዛዊው የ 1 ኛ ደረጃ ፖሊኖሚል ነው። 1) በአካፋው ውስጥ አንድ ሙሉ ካሬን እንመርጣለን 2) ምትክ እንሰራለን-መለዋወጫው ቅጹን ይወስዳል-የተደጋጋሚ ቀመር * = 2, a3 = 1. ይኖረናል, እና ስለዚህ, የሚፈለገው ውህደት እኩል ነው. ወደ ተለዋዋጭ x ስንመለስ በመጨረሻ 7.3 እናገኛለን። አጠቃላይ ጉዳይ ከአንቀጾች ውጤቶች. የዚህ ክፍል 1 እና 2 ወዲያውኑ አንድ ጠቃሚ ቲዎሪ ይከተላል. ቲዎረም! 4. የማንኛውም ምክንያታዊ ተግባር ያልተወሰነ አካል ሁል ጊዜ ይኖራል (የክፍልፋይ Q„(x) φ 0) ክፍልፋይ በሚታይባቸው ክፍተቶች ውስጥ እና በተወሰነ የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ይገለጻል ፣ ማለትም ፣ እሱ አልጀብራ ድምር ነው ፣ ቃላቶቹ። ከእነዚህ ውስጥ ሊባዙ የሚችሉት, ምክንያታዊ ክፍልፋዮች, ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም እና አርክታንጀንት ብቻ ነው. ስለዚህ የክፍልፋይ-አመክንዮአዊ ተግባርን ያልተወሰነ ውህደትን ለማግኘት አንድ ሰው በሚከተለው መንገድ መቀጠል ይኖርበታል፡ 1) ምክንያታዊ ክፍልፋዩ ትክክል ካልሆነ ከዚያም አሃዛዊውን በዲኖሚተር በማካፈል ሙሉው ክፍል ተለይቷል ማለትም ይህ ተግባር ነው። እንደ ፖሊኖሚል ድምር እና ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው የሚወከለው; 2) ከዚያም የተገኘው ትክክለኛ ክፍልፋይ መለያ ወደ መስመራዊ እና ኳድራቲክ ምክንያቶች ምርት ውስጥ መበስበስ; 3) ይህ ትክክለኛ ክፍልፋይ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ተበላሽቷል; 4) የመዋሃድ መስመሩን እና የእርምጃ 2 ቀመሮችን በመጠቀም የእያንዲንደ ቃሊት ውስጠቶች በተናጥል ይገኛሉ። ምሳሌ 7. ዋናውን M ያግኙ መለያው የሦስተኛው ቅደም ተከተል ፖሊኖሚል ስለሆነ ፣የተዋሃዱ ተግባር ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ ነው። በእሱ ውስጥ ሙሉውን ክፍል እናሳያለን: ስለዚህ, ይኖረናል. የትክክለኛ ክፍልፋይ መለያ phi የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች አሉት፡ እና ስለዚህ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መበስበስ መልክ አለው ስለዚህም እናገኘዋለን። ነጋሪቱን x እሴቶች ከተከፋፈለው ሥር ጋር እኩል ስንሰጥ፣ከዚህ ማንነት ያገኘነው፡-በመሆኑም የሚፈለገው ውህደት ከምሳሌ 8 ጋር እኩል ይሆናል።መሠረታዊውን ፈልግ 4 ውህደቱ ትክክለኛ ክፍልፋይ ነው ሁለት የተለያዩ እውነተኛ ስሮች፡- x - ኦ ብዜት 1 እና x = 1 የብዝሃነት መጠን 3፣ ስለዚህ ውህደቱ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መስፋፋት መልክ አለው የዚህን እኩልነት የቀኝ ጎን ወደ አንድ የጋራ መለያ ማምጣት እና ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች መቀነስ። በዚህ መለያ, እኛ እናገኛለን ወይም. በዚህ ማንነት ግራ እና ቀኝ በኩል ለተመሳሳይ የ x ሃይሎች እኩልነት እናመጣለን፡ ከዚህ እናገኛለን። የተገኙትን የቁጥር እሴቶችን ወደ ማስፋፊያ በመተካት, እኛ ማዋሃድ, እናገኛለን: ምሳሌ 9. ዋናውን ፈልግ 4 የክፍልፋይ መለያው ትክክለኛ ሥሮች የሉትም. ስለዚህ፣ ውህደቱ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መስፋፋት ቅጹ አለው ስለዚህ ወይም በዚህ ማንነት ግራ እና ቀኝ በኩል ለተመሳሳይ የ x ኃይላት ማመሳሰል፣ ካገኘንበት ቦታ እናያለን እና፣ ስለዚህ፣ Remark። በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ፣ የተቀናጀ ተግባር ቀለል ባለ መንገድ እንደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሊወከል ይችላል ፣ ማለትም ፣ በክፍሉ አሃዛዊ ክፍል ውስጥ ባለው ክፍልፋይ ውስጥ ያለውን ሁለትዮሽ እንመርጣለን እና ከዚያ በኋላ-በ-ጊዜ ክፍፍልን እናከናውናለን። §8. ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ውህደት Pm እና £?“ የዲግሪ ዓይነት ብዙ ቁጥር ያላቸው፣ በቅደም ተከተል፣ በተለዋዋጮች uub2፣... የ ubu2j ምክንያታዊ ተግባር ተብሎ የሚጠራው... ለምሳሌ የሁለተኛው ፖሊኖሚል ዲግሪ በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ u \ እና u2 ቅጽ አለው የት - አንዳንድ እውነተኛ ቋሚዎች ፣ እና ምሳሌ 1 ፣ ተግባሩ የ r እና y ተለዋዋጮች ምክንያታዊ ተግባር ነው ፣ ምክንያቱም የሶስተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ጥምርታ እና ፖሊኖሚል አምስተኛው ዲግሪ, ግን የ yew ተግባር አይደለም. ተለዋዋጮች በተራው ደግሞ የተለዋዋጭ x: ከዚያም ተግባሩ ] የምሳሌው ተግባራት ምክንያታዊ ተግባር ይባላል። ተግባር የ r እና rvdikvlv Pryaivr 3. የቅጹ ተግባር የ x እና radical y/r1 + 1 ምክንያታዊ ተግባር አይደለም፣ ነገር ግን ምሳሌዎች እንደሚያሳዩት ምክንያታዊ ያልሆነ ተግባር ነው። ተግባራት ሁልጊዜ በአንደኛ ደረጃ ተግባራት አይገለጹም. ለምሳሌ, በመተግበሪያዎች ውስጥ ብዙውን ጊዜ የሚያጋጥሟቸው ውህዶች በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ውስጥ አይገለጹም; እነዚህ ውህዶች እንደ ቅደም ተከተላቸው የመጀመሪያ እና የሁለተኛው ዓይነት ኤሊፕቲክ ውህዶች ይባላሉ። በአንዳንድ ተተኪዎች እርዳታ ምክንያታዊ ተግባራትን በማዋሃድ ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራትን ማቀናጀት በሚቀንስበት ጊዜ እነዚያን ጉዳዮች እንመልከታቸው. 1. R (x, y) የክርክሮቹ x እና y ምክንያታዊ ተግባር የሆነበት ዋናውን ማግኘት አስፈላጊ ይሁን; m £ 2 - የተፈጥሮ ቁጥር; a, 6, c, d ሁኔታውን የሚያረኩ እውነተኛ ቋሚዎች ናቸው ማስታወቂያ - bc ^ O (ለማስታወቂያ - be = 0, የቁጥር አሃዞች a እና b ከቁጥር ሐ እና መ ጋር ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህም ግንኙነቱ በ x ላይ የተመሰረተ አይደለም. ይህ ማለት በዚህ ጉዳይ ላይ የመዋሃድ ተግባር የተለዋዋጭ x ምክንያታዊ ተግባር ይሆናል, ውህደት ቀደም ብሎ የተብራራ ነው). በመቀጠል የምናገኘው ወይም ከማቅለል በኋላ፣ ስለዚህ A1 (t) የ* ምክንያታዊ ተግባር በሆነበት ቦታ፣ የምክንያታዊ ተግባር ምክንያታዊ funadia፣ እንዲሁም የምክንያታዊ ተግባራት ውጤት፣ ምክንያታዊ ተግባራት ናቸው። ምክንያታዊ ተግባራትን እንዴት ማዋሃድ እናውቃለን. ከዚያ የሚፈለገው ውህድ ከ At ጋር እኩል ይሁን። IvYti integral 4 የተቀናጀ * ተግባር ምክንያታዊ ተግባር ነው። ስለዚህ፣ t = ከዚያም የምክንያታዊ ተግባራት ውህደትን እናስቀምጣለን አጭር መረጃ ስለ ምክንያታዊ ተግባራት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት አጠቃላይ ጉዳይ ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ውህደት የኡለር የመጀመሪያ ምትክ የኡለር ሁለተኛ ምትክ የኡለር ሶስተኛ ምትክ ፕሪመር 5ን እናገኛለን። የስልጣን አርቢዎች x 12 ናቸው፣ ስለዚህ ውህደቱ ተግባር በ 1 _ 1_ ቅፅ ሊወከል ይችላል፣ ይህም የሚያሳየው ምክንያታዊ ተግባር መሆኑን ነው፡ ይህንን ከግምት ውስጥ በማስገባት፣ እናስቀምጠው። በዚህም ምክንያት፣ 2. የንዑስ ክፍል ተግባር የሆነበትን ቅጽ intephs አስቡበት፣ በውስጡም ራዲካል \/ax2 + bx + c በ y በመተካት ፣ R (x) y) ተግባር እናገኛለን - ከሁለቱም ነጋሪ እሴቶች አንጻር x እና y. ይህ ውህድ የኡለርን መተኪያዎችን በመጠቀም የሌላ ተለዋዋጭ ምክንያታዊ ተግባር ወደመሆን ይቀንሳል። 8.1. የኡለር የመጀመሪያ ምትክ የቁጥር አቆጣጠር ሀ > 0. እናስቀምጠው ወይም ስለዚህ x እንደ ምክንያታዊ ተግባር እናገኘዋለን፣ ይህም ማለት ስለዚህ፣ የተጠቆመው ምትክ በምክንያታዊነት ይገለጻል *። ስለዚህ, አስተያየት ይኖረናል. የመጀመርያው የኡለር መተካትም በምሳሌ 6 ሊወሰድ ይችላል፡ ዋናውን እንፈልግ ስለዚህ dx Euler’s ምትክ ይኖረናል፣ Y 8.2 መሆኑን አሳይ። የኡለር ሁለተኛ መተካካት ትሪኖሚል ax2 + bx + c የተለያዩ ትክክለኛ ሥሮች ይኑሩ R] እና x2 (ኮፊፊሽኑ ምንም ምልክት ሊኖረው ይችላል)። በዚህ ሁኔታ፣ ከዚያን ጊዜ ጀምሮ እንደምናገኝ እንገምታለን x,dxn y/ax2 + be + c በምክንያታዊነት የተገለጹት በቲ አንፃር ነው፣ከዚያም ኦርጅናሉ ኢንተግራል ወደ ምክንያታዊ ተግባር ዋና አካል ይቀንሳል፣ማለትም ችግር ያለበት። የዩለርን የመጀመሪያ ምትክ በመጠቀም የቲ ምክንያታዊ ተግባር መሆኑን አሳይ። ምሳሌ 7. ዋናውን dx M ተግባር ፈልግ ] - x1 የተለያዩ እውነተኛ ሥሮች አሉት። ስለዚህ, የሁለተኛውን የዩለር ምትክን ከዚህ ውስጥ እናገኛለን. 8.3 እናገኛለን. ሦስተኛው የዩለር ንዑስ ክፍል (Coefficient) ሐ > 0. በማስቀመጥ የተለዋዋጭ ለውጥ እናደርጋለን። ውህደቱን ወደ ምክንያታዊ ተግባር ዋና አካል ለመቀነስ የመጀመሪያው እና ሁለተኛው የኡለር መተካት በቂ መሆኑን ልብ ይበሉ። እንደ እውነቱ ከሆነ, አድልዎ b2 -4ac> 0 ከሆነ, የኳድራቲክ ትሪኖሚል አክስ + bx + c ሥሮች እውነተኛ ናቸው, እና በዚህ ሁኔታ ሁለተኛው የዩለር መተካት ተግባራዊ ይሆናል. የሦስትዮሽ ax2 + bx + c ምልክት ከኮፊቲፊሻል a ምልክት ጋር የሚጣጣም ከሆነ እና ትሪኖሚሉ አዎንታዊ መሆን ስላለበት ሀ > 0 በዚህ ሁኔታ የኡለር የመጀመሪያ ምትክ ተፈጻሚ ይሆናል። ከላይ የተመለከተውን አይነት ውህዶችን ለማግኘት የዩለርን ምትክ መጠቀም ሁልጊዜ ጥሩ አይደለም, ምክንያቱም ለእነሱ በፍጥነት ወደ ግቡ የሚያመሩ ሌሎች የውህደት ዘዴዎችን ማግኘት ስለሚቻል ነው. ከእነዚህ ውህዶች መካከል ጥቂቶቹን እንይ። 1. የቅጹን ውስጠ-ቁራጮችን ለማግኘት ትክክለኛውን ካሬን ከሦስተኛው ትሪኖሚያል ካሬ ለይተው ይለዩት-ከዚህ በኋላ ምትክ ያድርጉ እና አ እና ፒ የተለያዩ ምልክቶች ካላቸው ወይም ሁለቱም አዎንታዊ ናቸው። ለ፣ እና እንዲሁም ለ > 0፣ ውህደቱ ወደ ሎጋሪዝም፣ እና ከሆነ፣ ወደ አርክሲን ይቀንሳል። በ. ኢምተግራል 4 Sokakን ከዚያ ያግኙ። ብለን ካሰብን, Prmmar 9. አግኝ. x - ብንገምት 2 ይኖረናል. የቅጹ ዋና አካል ከደረጃ 1 ወደ ውህደት y ይቀንሳል። ተዋጽኦው ()" = 2 መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት በቁጥር አሃዛዊው ላይ እናድመዋለን፡ 4 በአሃዛዊው ውስጥ የአክራሪ አገላለጽ አመጣጥን ለይተናል። ከ(x፣ ከዚያም የምሳሌ 9፣ 3ን ውጤት ከግምት ውስጥ በማስገባት ይኖረናል። የቅጹ ውህደቶች P "(x) ብዙ ቁጥር ያላቸው n - ኛ ዲግሪዎች ናቸው ፣ በማይታወቅ የቁጥሮች ዘዴ ሊገኙ ይችላሉ ፣ እሱም የሚከተለውን ያቀፈ ነው (ዎች) ብዙ ቁጥር ያለው (n - 1) ዲግሪ ላልተወሰነ መጠን ነው፡- የማይታወቁ ቁጥሮችን ለማግኘት | የ(1) ሁለቱንም ወገኖች እንለያቸዋለን። የግራ ጎን አካፋይ፣ ማለትም y/ax2 + bx + c፣ ሁለቱንም የ(2) ጎኖች በመቀነስ በሁለቱም በኩል የዲግሪ ፖሊኖሚየሎችን በያዙት የ x ዲግሪዎች ተመሳሳይ የ (3) የግራ እና የቀኝ ጎኖች, n + 1 እኩልታዎችን እናገኛለን, ከነሱም አስፈላጊዎቹን ጥምርታዎች እናገኛለን j4 * (fc = 0,1,2,..., n) እሴቶቻቸውን በቀኝ በኩል በመተካት የ (1) እና ውህደቱን + c ማግኘት ለዚህ ውህድ መልሱን እናገኛለን። ምሳሌ 11. ዋናውን ይፈልጉ ሁለቱንም የእኩልነት ተስማሚነት ልዩነት እናስቀምጥ፣ ትክክለኛውን ጎን ወደ አንድ የጋራ መለያ በማምጣት ሁለቱን ወገኖች በመቀነስ ማንነቱን እናገኛለን ወይም። እኩልታዎችን በ x ተመሳሳይ ሃይሎች በማመሳሰል ወደ ምናገኝበት የእኩልታዎች ስርዓት ላይ ደርሰናል = ከዚያ በቀኝ በኩል ያለውን የእኩልነት ክፍል እናገኛለን (4): በዚህ ምክንያት የሚፈለገው ውህደት እኩል ይሆናል.

ክፍላቸው በመጠን ስለሚለያይ ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎችን ለመፍታት ምንም ዓይነት ዓለም አቀፍ መንገድ የለም። ጽሑፉ የመዋሃድ ዘዴን በመጠቀም ከመተካት ጋር የባህሪ ዓይነቶችን እኩልታዎች ያጎላል።

ቀጥተኛ ውህደት ዘዴን ለመጠቀም የአይነት ∫ k x + b pd x, p ምክንያታዊ ክፍልፋይ, k እና b እውነተኛ ቅንጅቶች ናቸው.

ምሳሌ 1

የተግባር y = 1 3 x - 1 3 ፀረ ተዋጽኦዎችን ይፈልጉ እና ያሰሉ.

መፍትሄ

በውህደት ደንቡ መሰረት ቀመሩን ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C መተግበር አስፈላጊ ሲሆን የፀረ-ተውሳኮች ሰንጠረዥ ለዚህ ተግባር ዝግጁ የሆነ መፍትሄ መኖሩን ያመለክታል. . ያንን እናገኛለን

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 ደ x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3+C

መልስ፡-∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

የልዩነት ምልክትን የማስገባት ዘዴን መጠቀም የሚቻልባቸው አጋጣሚዎች አሉ. ይህ የሚፈታው በቅጹ ∫ f "(x) · (f (x)) pd x ያልተወሰነ ውህዶችን በማግኘት መርህ ሲሆን የ p ዋጋ እንደ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ሲቆጠር ነው።

ምሳሌ 2

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

መፍትሄ

ልብ ይበሉ d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. ከዚያም የፀረ-ተውሳሽ ሰንጠረዦችን በመጠቀም የልዩነት ምልክትን ማስገባት አስፈላጊ ነው. ያንን እናገኛለን.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 ዲ (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 ደ z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + ሐ

መልስ፡-∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

ያልተወሰነ ውህዶችን መፍታት የ ∫ d x x 2 + p x + q ቅጹን ያካትታል፣ p እና q ትክክለኛ ቅንጅቶች ናቸው። ከዚያም ከሥሩ ሥር አንድ ሙሉ ካሬ መምረጥ ያስፈልግዎታል. ያንን እናገኛለን

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

ላልተወሰነ ውህደቶች ሠንጠረዥ ውስጥ የሚገኘውን ቀመር በመተግበር እናገኛለን፡-

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + ሲ

ከዚያ ውህደቱ ይሰላል፡-

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2+ p x+q+C

ምሳሌ 3

የቅጹን ያልተወሰነ ውህደት ያግኙ ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

መፍትሄ

ለማስላት ቁጥር 2 ን አውጥተው ከጽንፈኛው ፊት ለፊት ማስቀመጥ ያስፈልግዎታል:

∫ መ x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ መ x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

በአክራሪ አገላለጽ የተሟላ ካሬ ይምረጡ። ያንን እናገኛለን

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

ከዚያም ቅጽ 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - ያልተወሰነ ውህደት እናገኛለን። 1 2 + ሲ

መልስ፡- d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራትን ማዋሃድ በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል. ለቅጽ ተግባራት ተፈጻሚ ይሆናል y = 1 - x 2 + p x + q.

ምሳሌ 4

ያልተወሰነውን ∫ ዲ x - x 2 + 4 x + 5 ያግኙ።

መፍትሄ

በመጀመሪያ ከሥሩ ስር ያለውን የገለፃውን መከፋፈያ ካሬ ማግኘት ያስፈልግዎታል.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ መ x - x 2 - 4 x - 5 = ∫ መ x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ መ x - (x - 2) 2 + 9

የሰንጠረዡ ውህደት ∫ d x a 2 - x 2 = ar c sin x a + C , ከዚያም ያንን ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = ar c sin x - እናገኛለን። 2 3 +ሴ

መልስ፡-∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ar c sin x - 2 3 + C .

ቅጽ y = M x + N x 2 + p x + q ፣ ነባሩ ኤም ፣ ኤን ፣ ፒ ፣ q እውነተኛ ቅንጅቶች ሲሆኑ እና ከሦስተኛው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት ጋር ተመሳሳይነት ያለው ቅጽ y = M x + N x 2 + px +q ፀረ-ተመጣጣኝ ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራትን የማግኘት ሂደት። . ይህ ለውጥ በርካታ ደረጃዎች አሉት:

ከሥሩ ስር ያለውን ልዩነት በማጠቃለል ፣ የገለጻውን ሙሉ ካሬ ከሥሩ ስር በማግለል ፣ በሰንጠረዥ ቀመሮች ።

ምሳሌ 5

የተግባር y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 ፀረ ተዋጽኦዎችን ያግኙ።

መፍትሄ

ካለንበት ሁኔታ መ (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x እና x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2፣ ከዚያም (x + 2) d x = 1 አለን። 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

ዋናውን እናሰላለን፡ ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 ደ (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + ሲ

መልስ፡-∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

የተግባር ∫ x m (a + b x n) pd x ላልተወሰነ ውህደቶች ፍለጋ የሚከናወነው የመተካት ዘዴን በመጠቀም ነው።

ለመፍታት አዳዲስ ተለዋዋጮችን ማስተዋወቅ አስፈላጊ ነው-

1. p ኢንቲጀር ሲሆን፣ ከዚያ x = z N ይቆጠራል፣ እና N ለ m፣n የጋራ መለያ ነው።
2. m + 1 n ኢንቲጀር ሲሆን ፣ ከዚያ a + b x n = z N ፣ እና N የፒ.
3. m + 1 n + p ኢንቲጀር ሲሆን, ከዚያም ተለዋዋጭ a x - n + b = z N ያስፈልጋል, እና N የቁጥር p.

ምሳሌ 6

የተወሰነውን ውህድ ይፈልጉ ∫ 1 x 2 x - 9 d x።

መፍትሄ

ያንን ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x እናገኛለን። እንደሚከተለው ነው m = - 1, n = 1, p = - 1 2, ከዚያም m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 ኢንቲጀር ነው. የቅጹን አዲስ ተለዋዋጭ - 9 + 2 x = z 2 ማስተዋወቅ ይችላሉ. በ z አንፃር xን መግለጽ አስፈላጊ ነው. እንደ ውፅዓት እኛ ያንን እናገኛለን

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

በተሰጠው ውህደት ውስጥ መተካት አስፈላጊ ነው. ያ አለን።

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

መልስ፡-∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 ar cc t g 2 x - 9 3 + C .

ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎች መፍትሄን ለማቃለል መሰረታዊ የመዋሃድ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን